INFORME SOBRE LOS TEMAS HIPÉRBOLA Y ELIPSE

                          ELIPSE

Definición

Elipse es el conjunto de puntos del plano que verifican que la suma de las

Distancias desde cada uno de ellos a dos puntos fijos (F y F´) llamados focos

Es una cantidad constante, que llamamos 2a.

                                           

PF+PF´= 2ª

Elementos de la elipse.

En la elipse se distinguen los siguientes elementos:

· El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.

· El eje secundario es la mediatriz del segmento FF´.

· El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el

Centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.

· La distancia focal es el segmento FF´, cuya longitud es 2c.

· Los focos son los puntos F y F´. En una elipse de centro C (0,0), las

Coordenadas de los focos son F(c, 0) y F´ (-c, 0)

· Los vértices son los puntos A y A´, B y B´ en los que los ejes cortan a la

Elipse. En una elipse de centro O (0,0), las coordenadas de los vértices

Son A(a, 0) A´ (-a, 0) B (0, b) B´ (0,-b)

· El eje mayor es el segmento AA´.

· El eje menor es el segmento BB´.

-La longitud del eje mayor AA´ se designa por 2a, AA´= 2ª

-La longitud de los semiejes  es: OA = OA´= a.

-La longitud del eje menor BB´ se designa por 2b, BB´ = 2b

-Por tanto: OB = OB´ = b.

-La distancia focal FF´ se designa por 2c, FF´ = 2c

-y la semidistancia focal será: OF = OF´ = c.

Relación entre a, b y c.

Si tomamos el punto P en el vértice B, obtenemos

                       BF + BF´ = 2a, luego BF = BF´ = a

Considerando el triángulo rectángulo OFB, de catetos b y c y de hipotenusa a.

El teorema de Pitágoras proporciona la relación: a2 = b2 + c2

Ecuación reducida de la elipse de eje mayor OX

Haciendo uso de la definición de elipse y de la relación entre los elementos

Principales, obtenemos:

EJEMPLO 1 : TRAZO  DE  UNA ELIPSE

  

La graficas se muesta en la siguiente figura :

EJEMPLO 2 : OBTENGA LA ECUACION DE  UNA  ELIPSE

LA GRÁFICA D  ESTA ECUACIÓN SE  MUESTRA EN LA SIGUIENTE  FIGURA :

HIPÉRBOLA

Definición

La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a

Dos  puntos fijos  llamados  focos  es  una cantidad  constante: 2a.

                                               

                                                     l PF´- PF l = 2ª

 Elementos de la hipérbola.

 En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

-El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.

-El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.

- El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los

 Ejes.  Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.

-La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.

-Los vértices son los puntos A, A´ y B, B´

 El eje real es el segmento AA´.

-El eje imaginario es el segmento BB´.

Longitudes de los ejes.

El eje real AA´ mide 2a luego OA = OA´ = a

De igual forma se toma como longitud del eje imaginario BB´ 2b, luego

OB = OB´ = b.    Y la distancia focal es FF´ = 2c.

Relación entre a, b y c.

La relación pitagórica entre estos elementos principales es: c2 = a2+ b2

Ecuación reducida de la hipérbola de eje real OX

Se obtiene desarrollando la definición de hipérbola, y utilizando la

Relación entre los elementos principales

                                                                   

 EJEMPLO 1

TRAZO DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA A PARTIR DE  SUS VÉRTICES  Y FOCOS

Representada en la  siguiente grafica :

EJEMPLO 2

DETRMINE LOS VERTICES  Y FOCOS DE LA HPERBOLA  CUYA ECUACION ES :

En consecuencia, los focos están en   F(5,0) y F´(-5,0). La hipérbola dibujada junto a los focos se muestra en la siguiente  figura